28、（2011成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）经过A、B、C三点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长； （3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1） 由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由 △ABC = AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可； （2）设E点坐标为（m，m 2 ﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m﹣2）=EH，列方程求解； （3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7 ，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可． 解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|， 设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m， 由 △ABC = AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值）， ∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1， ∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5）， 即y=x 2 ﹣4x﹣5； （2）设E点坐标为（m，m 2 ﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2， 由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m 2 ﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m 2 ﹣4m﹣5， 解得m=1± 或m=3± ， ∵m＞2，∴m=1+ 或m=3+ ， 边长EF=2（m﹣2）=2 ﹣2或2 +2； （3）存在． 由（1）可知OB=OC=5， ∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5， 依题意，直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7 ， 联立， ， 解得 或， ∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）． 点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．
